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terça-feira, 30 de outubro de 2012

NÚMEROS NATURAIS

NÚMEROS NATURAIS



Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, poso  que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza.A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.

•As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que
• hoje é denominada Oriente Médio.
•A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.
•No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.
A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos


•Todo número natural tem sucessor, o sucessor de um número natural é o resultado da soma desse número ao 1
•Sucessor de 4 é 5
•Sucessor de 1 é 2
•A sequência dos naturais é infinita, pois qualquer que seja ele sempre haverá um sucessor.
•Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor
•Antecessor de 8 é 7
Antecessor de 10 é 9



CONTANDO NÚMEROS

•Para saber quantos são os números da sequência: 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
•Podemos contá-los = 15
•Ou obtida assim: 18 – 4 = 14, no entanto, fazendo isso estamos excluindo o número 4 da contagem. Para compensar somamos 1 ao total > 14 + 1 = 15.
•Determine a quantidade de nº de cada sequência:
•a) 1,2,3........60 ( 60 – 1 ) + 1 = 60•b) 10,11,12,.......99 ( 99 -10 + 1 ) = 90•c) 100,101,102......384 ( 384 – 100 + 1) = 285
•d) 1000,1001,1002,......2001 ( 2001 – 1000 + 1 )= 1002


•Luiza trabalhou do dia 10 ao dia 25, substituindo sua irmã em uma loja de sapatos.Quantos dias Luiza trabalhou? ( 25 – 10 + 1) = 16
•Ana fazendo uma pesquisa na Internet, precisa copiar algumas páginas de um documento. Sabendo que o seu assunto de seu interesse começa na página 378 e termina na pg 750. Quantas páginas ela precisa copiar?
•( 750 – 378 + 1) =373
•Um número tem dois algarismo, o algarismo das dezenas é o dobro do algarismo da unidade.
•a) Qual é esse número se ele for menor que 40? = 21•b)Qual é esse número se ele for maior que 70? = 84

ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS

•Transmite a ideia de juntar quantidades.
•1) Uma bicicleta custava 240 reais à vista, como pagamos a prazo, o preço foi acrescido de 24 reais: 240 + 24= 264.•2) Quando Ana nasceu seu Pai tinha 32 anos. Hoje Ana tem 25 anos. Qual a idade atual do seu Pai. ( 32 + 25 = 57)•3) A tartaruga andou 3 metros no 1º dia, nos dias seguintes, andou 5 metros a mais do que no dia anterior. Ela levou 4 dias para chegar. Qual a distância percorrida? ( 42 metros)


Propriedades da Adição

•Em uma adição de números naturais a ordem das parcelas não altera a soma.
•10+35 = 35+ 10 => comutativa
•5+3+7 = 8+7 = 15
•5+3+7= 5+10 = 15
•Zero é o elemento neutro na Adição
•25+0 =25
•12 + 0=12



SUBTRAÇÃO

•A ideia é de retirar:
•De uma cesta de ovos com 12 ovos, Marta retirou 4 para fazer um bolo. 12- 4=8•No sentido de completar:
•Um teatro comporta 280 pessoas, já foram vendidos 235 ingressos. Quantos ingressos faltam ser vendido para que o teatro fique lotado? 280 – 235 = 45•Cristina saiu de casa com 5 notas de 10 reais, 3 moedas de 1 real e 2 notas de 2 reais. Gastou 35 reais.
•a) Com que quantia ela ficou? ( 20,00)



MULTIPLICAÇÃO

•É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.
• Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:
•4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36



Comutativa : 24 X 2 = 2 X 24 = 48

•Associativa: 2 X 18 X 5 = 2 X 5 X 18 = 10 x 18 =180

• 2 X 18 X 5= 36 X 5 =180

•Elemento neutro : 35 X 1= 35
• 25 X 1= 25

•Distributiva: 3 X ( 4+5) = 3X4 + 3X5= 12 + 15
•(2+3 ) X 4 = 2X4 + 3X4 = 8 + 12= 20


DIVISÃO
•Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

•No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

•Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
•35 : 7 = 5
•Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.
•35 = 5 x 7


DIVISIBILIDADE
•Divisibilidade por 2

•Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par.

Ex: 452 : 2 = 226
•Divisibilidade por 3
•Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
•Exemplo:
•360 (3+6+0=9) → é divisível.

Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.
Exemplo:
•416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.


Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplo:
•2.654.820 → é divisível.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplo:
414 → divisível por 6, pois
par → divisível por 2
4+1+4=9 → divisível por 3
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
•927 (9+2+7=18) → é divisível.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando termina em zero.
Exemplo:
154.870 → é divisível


Potenciação de Números Naturais

•Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência.

•Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:
•2³ = 2 × 2 × 2 = 8 4³ = 4 × 4 × 4 = 64
Propriedades da Potenciação

•Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1.

•Exemplos:
1= 1×1×...×1 (n vezes) = 1
1³= 1×1×1 = 1
1= 1×1×1×1×1×1×1 = 1
•Se n é um número natural não nulo, então temos que n°=1. Por exemplo:

(a)nº = 1
(b)5º = 1
(c)49º = 1
Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n¹, é igual ao próprio n. Por exemplo:
(a)n¹ = n (b) 5¹ = 5 (c) 64¹ = 64
Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.
Exemplos:
10³= 1000
10= 100.000.000
10º= 1

Radiciação

•Radiciação é o processo pelo qual dado um numero natural a devemos determinar um numero natural b tal que:

•bn = a
•É o processo inverso da potenciação. Representamos a operação de radiciação da forma




•Raiz quadrada :Quando se quer determinar b tal que: b² = a
•dizemos que estamos determinando a raiz quadrada de a, ou seja, b.b=a
•Exemplo: Determinar a raiz quadrada de 36

•Para determinar a raiz quadrada de 36 deve-se obter b de forma que
•b . b = 36
•Por tentativa temos que dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quociente 36 / 2 = 18 36 / 3 = 12 36 / 4 = 9 36 / 6 = 6
•Portanto 6 é a raiz quadrada de 36 pois 6x6=36.
Raiz cúbica
Para determinar b tal que:
b³ = a
deve-se obter b tal que b.b.b=a e b é denominado a raiz cubica de a
Exemplo: Determinar a raiz cúbica de 64 é obter um número b tal que:
b . b . b = 64
Por tentativa, temos :
1 x 1 x 1 = 1 2 x 2 x 2 = 8 3 x 3 x 3 = 27 4 x 4 x 4 = 64 Portanto 4 é raiz cúbica de 64

EXERCICIOS
•a) √144 = 12 b) √289 =17 c) √324=18

•d) √441 =21 e) √529 =23 f) √ 729=27
•g) √784=28 h) √1024=32
•j) √1444 =38 l) √1521 =39 m) √ 1849=43
•) √ 2209 =47 o) √ 2304 =48 p) √2401=49
•q) √ 3721=61 r) √4761=69 s) √5329=73
•t) √ 6724 =82 u) √7744=88 v) √8649=93
•√ 9604 =98 y) √ 10404 =102 z) √10609=103
•√256 =16 b) √ 676=26 c) √3136=56


EXPRESSÕES NUMERICAS
•Existem expressões que apresentam sinais de associação:

•( ) parênteses
• [ ] Colchetes
• { } Chaves Indicam que devemos resolver as operações nelas contidas, primeiro parênteses, segundo colchete e terceiro as chaves


EXEMPLOS
•A) ( 12 -5) + 3 = 7 + 3 = 10
•B) 12 – (5 +3) = 12 – 8 = 4
•C) { 2 +5 – [7- ( 3- 1) ] } =

• { 2+ 5 - [ 7 -2 ] } =
• { 7- 5 } = 2
d) ( 36-5) – (12 +10) =

31 – 22 = 9
e) 36 – ( 12 +10 – 15) = 36 – 7 = 29


EXPRESSÕES
•Se uma expressão numérica possui todas as operações, devemos seguir a seguinte ordem para calcula - lá : primeiro resolvemos as potências ou as raízes ( na ordem em que aparecem); depois, as multiplicações ou divisões ( na ordem em que aparecem); e finalmente, as adições ou subtrações ( também na ordem que aparecem).


EXEMPLOS
•1) 2 . √64 – 3 . √9 =

2. 8 – 3 . 3= 16 – 9 = 7
•2) 2³ . 3 – 6 . 8 + 1 =
8. 3 - √ 49 = 24 – 7 = 17
•3) ( 9 – 3)² : ( 2³ - Ѵ4 ) =
6² : ( 8 – 2) =
36: 6= 6


EXERCICIOS
•A)(2 x 3 - 4)²+10:5 =6

•B)[16:8+(4:2+2 x 1)²]-5 = 5
•C) (4 x 2-3x1)²+18:9 + 24 : 4= 33
•D) 21:7+(5 x 1-2x2)³+10 =14
•E) [(5 + 12)-6]²+45:5+1=46
•F) 20:4+6:3+(3 x 4-9 x 1)² =16
•G) [14+(4 x 5 - 3 x 6)³]-18:9 =10
•H) (3 x 6 -7 x 2)³+ (16 : 8 – 12 : 12)³= 65
•1) 2 : ( 2° x 1²) = resposta = 2
2) 2+ ( 5x2 : 2 – 4 x 0) = respostas 7
3) 5 x ( 3³: 9 – 6°) – 7 = “ “ 3
•4) ( Ѵ64 + 2²) : 2 = 6
•5)[ ( 8+ 5²) – ( 9² -80 )] : 2² = 8
•6) (4² + 5² - 3³ + 1 ³) – 10 = 5
•7) 4 – 9² : ( 3² x 3) =

FONTE: http://visaomatematica.blogspot.com.br